라플라스 변환(Laplace transform)

라플라스 변환은 퓨리에 변환하고 관련이 많고 특히 제어공학에서 많이 썼던 기억이 납니다.

우선 퓨리에 변환을 일반화 한게 라플라스 변환입니다. 

라플라스 변환 안에 퓨리에 변환이 포함된다 생각하면 되겠습니다.

 

라플라스 변환의 커널함수의 s는 실수부와 허수부로 구성되어 있는데 이 실수부가 0인 케이스가 바로 퓨리에 변환입니다.

그리고 퓨리에 변환은 수렴조건을 만족하는 함수만 사용할수 있는데 라플라스 변환은 

 

위 항이 감쇄 요소로 작용해 퓨리에 변환의 수렴조건을 만족하지 못하는 함수도 라플라스 변환을 적용할 수 있게 합니다.
 
라플라스 변환의 특별한 케이스가 퓨리에 변환이라고 생각하면 되겠습니다.

퓨리에변환은 주로 신호, 라플라스변환은 시스템을 다루는데 적합합니다.

라플라스 변환의 목적은 크게 두 가지입니다.

미분 방정식을 쉽게 풀기 위해서,

시스템의 안정성을 해석하거나 시스템의 응답 특성을 보여주는 주파수 응답을 얻는데 쓰입니다.(제어공학)

 

라플라스 변환의 공식은 위와 같습니다.

미분 방정식을 쉽게 풀기 위해서 라플라스 변환을 사용한다고 했는데

그 원리는 t도메인의 함수를 s도메인으로 라플라스 변환을 한 뒤 s도메인에서 깔끔하게 정리를 한 뒤

다시 라플라스 역변환을 하여 t도메인으로 돌아오면 미분 방정식이 쉽게 풀리게 되는 것입니다.

물론 처음 들으면 무슨 말인지 모르니 예제를 통해서 풀어보도록 하겠습니다.

예제를 풀기 전에 라플라스 변환에서 알아야 할 몇 가지를 알고 가겠습니다.

 

예제를 풀어보겠습니다.

 

 

간단한 예제입니다. 첫 번째 미분방정식을 라플라스 변환하여 정리한 다음 라플라스 역변환을 통해 y(t)를 깔끔하게 도출했습니다.

첫 번째 미분방정식이 복잡할수록 라플라스 변환이 힘을 발휘하는 것입니다.

그리고 제어 공학에서는 라플라스 변환을 통해 시스템의 안정도를 판별하는데

Routh-Hurwitz 판별법, 나이퀴스트 판별법, 이득여유+위상여유, 근궤적 등을 통해서 시스템 안정도를 판별합니다.