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FFT Fast Fourier Transform

FFT는 기존의 DFT(Discrete Fourier Transform)의 연산량을 극복하려고 나온 변환입니다.

DFT 포스팅입니다 -> https://kkhipp.tistory.com/3

과거의 하드웨어로는 DFT의 연산량을 커버하기에는 무리가 있었습니다.

DFT는 의 연산량이 필요하지만 FFT는 의 연산량으로 더 적은 양이 필요합니다.

FFT는 결국 DFT의 계산 과정에서 대칭성과 주기성을 사용하여 연산량을 줄이는 변환입니다.

FFT에서 많이 사용되는 알고리즘은 Cooley-Tukey 알고리즘 입니다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_diagram

그리고 FFT Cooley-Tukey 알고리즘 과정을 그려보면 위와 같은 그림이 나오는데

나비 모양과 비슷하다고 하여 Butterfly model, Butterfly operation 등으로 부릅니다.

스미스차트(Smith Chart)란?

1939년 Philip F. Smith가 만들어냈다

RF 를 다루다보면 자연스레 스미스차트를 많이 접하게 된다.

반사계수와 임피던스 관계를 도시한 것으로 전송선로와 임피던스 정합문제를 직관적으로 해결할 수 있음

복소 임피던스 - 곧바로 반사계수와 SWR(정재파비) 해석가능 -> 임피던스 매칭용으로 쉽게사용가능

정재파란? - 진행파와 반사파가 동시에 존재하는 신호

                임피던스 매칭에 제대로 되지 않으면 반사파가 생겨 좋지 않은 영향을 끼친다.

스미스 차트의 기본이 되는 반사계수의 식

S파라미터 

오른쪽에서부터 시작하는 원의 직격은 실수부, 오른쪽 끝에서 사방으로 퍼지는 곡선은 허수부 

출처 : http://www.rfdh.com

직렬연결용 = 임피던스 차트, 병렬연결용 = 어드미턴스 차트

임피던스 정합을 통해 LC, Stub의 길이 곧바로 추출가능

한 점을 찍으면 반사계수를 알 수 있고 반사계수를 알면 임피던스 값을 구할 수 있다.

원의 중심은 반사가 없다는 뜻, 같은 원 상에 있으면 반사계수의 절대값이 같은 경우임 

위의 그림은 증폭기, 발진기를 설계할 때 사용하는 Stability circle 차트라고 한다.

색칠된 부분에 반사계수가 위치하면 안정영역이 되어 증폭기로 설계가 가능하고 

색칠이 되지 않은 부분에 위치하면 발전기로 설계가 가능합니다. 

스미스차트는 제가 아직 실제로 다뤄본적이 별로 없고 자세히 배우지 못해 모자란 부분이 많습니다.

http://www.rfdh.com/

요 사이트에 정리가 되게 폭넓게 잘 되있더라고요

열심히 공부해봐야겠습니다.

오늘은 LTI시스템에 대하여 알아보겠습니다.

LTI(Linear Time Invariant System) 선형 시불변 시스템

인과성 + 선형성 + 시불변성을 가지는 시스템

인과성 = input신호가 들어간 이후에 output신호가 나와야합니다.

선형성 = 중첩의 원리를 만족해야합니다.(Homogeneity, Additivity를 만족해야한다!)

            H(ax+by)= aH(x)+bH(y)

시불변성 = 어떠한 시간에도 같은 input신호가 들어가면 동일한 output신호가 나와야합니다.

y(t)=S(x(t))=h(t)*x(t)            

y[n]=S(x[n])=h[n]*x[n]            

만약 LTI시스템이 아니라면 선형성, 시불변성이 만족되지 않기 때문에 생각하기 매우 복잡해집니다.

나이퀴스트 이론, 주파수는 무엇인가?

우선 샘플링이 무엇인가를 알아야합니다.

샘플링을 알아보기 위해서 아날로그 데이터를 디지털화 시키는 과정을 알아보겠습니다.

우리 주변의 데이터는 모두 아날로그 데이터입니다.

이 신호를 컴퓨터가 처리할 수 있게 디지털화 시켜줘야합니다. 

그리고 아날로그로 데이터를 통신하면 변조의 위험이 많기 때문에 데이터 무손실의 장점을 가진 디지털화 시켜 데이터를 통신합니다.

이 Analog to Digital Conversion 과정은 크게 표본화(Sampling), 양자화(Quantization), 부호화(Coding) 과정을 거칩니다.

위 과정이 샘플링 과정입니다. 원래의 신호에 일정한 간격으로 샘플링을 하는 것입니다.

이제 샘플링을 했으면 그 데이터의 값들을 디지털화 시켜줘야합니다.

이 데이터를 y축 기준으로 몇 단계를 나누는 과정이 양자화 과정입니다.

데이터의 값의 범위를 보고 몇 단계로 데이터를 나눌지 정합니다. 이게 양자화 레벨 수가 됩니다.

그리고 이렇게 몇 단계로 나누게 되면 데이터 값과 양자화된 값이 딱 떨어지지 않는데요. 이 차이가 양자화 오차입니다.

양자화 오차의 최대값은 양자화 계단 크기의 절반입니다.

부호화는 간단히 말하면 양자화한 데이터에 이진법의 수를 부여하는 것입니다.

4단계로 나누었으면 간단하게 (00), (01), (10), (11) 이렇게 수를 부여할 수 있죠. 

이제 본격적으로 나이퀴스트 정리를 알아보겠습니다.

샘플링 주파수는 입력 신호 최고 주파수의 2배 이상이 되어야 한다는 정리입니다.

이 조건을 만족해야 원 신호로 다시 충실히 복원할 수 있습니다. 

만약 샘플링 주파수가 입력 신호 주파수의 2배보다 낮다면 Aliasing 현상이 일어납니다.

Aliasing 현상을 주파수 대역에서 분석한 그림입니다.

Aliasing 대책은 크게 두가지로 볼 수 있습니다.

첫번째는 LPF를 사용하는 것입니다.

Aliasing이 일어난 그림을 보시면 fm부근 고주파 대역에서 일어나는데 이부분을 그냥 LPF로 버리고 샘플링하는 것입니다.

두번째는 샘플링 주파수를 늘리는 것입니다.

라플라스 변환은 퓨리에 변환하고 관련이 많고 특히 제어공학에서 많이 썼던 기억이 납니다.

우선 퓨리에 변환을 일반화 한게 라플라스 변환입니다. 

라플라스 변환 안에 퓨리에 변환이 포함된다 생각하면 되겠습니다.

위 항이 감쇄 요소로 작용해 퓨리에 변환의 수렴조건을 만족하지 못하는 함수도 라플라스 변환을 적용할 수 있게 합니다.
 
라플라스 변환의 특별한 케이스가 퓨리에 변환이라고 생각하면 되겠습니다.

퓨리에변환은 주로 신호, 라플라스변환은 시스템을 다루는데 적합합니다.

라플라스 변환의 목적은 크게 두 가지입니다.

미분 방정식을 쉽게 풀기 위해서,

시스템의 안정성을 해석하거나 시스템의 응답 특성을 보여주는 주파수 응답을 얻는데 쓰입니다.(제어공학)

라플라스 변환의 공식은 위와 같습니다.

미분 방정식을 쉽게 풀기 위해서 라플라스 변환을 사용한다고 했는데

그 원리는 t도메인의 함수를 s도메인으로 라플라스 변환을 한 뒤 s도메인에서 깔끔하게 정리를 한 뒤

다시 라플라스 역변환을 하여 t도메인으로 돌아오면 미분 방정식이 쉽게 풀리게 되는 것입니다.

물론 처음 들으면 무슨 말인지 모르니 예제를 통해서 풀어보도록 하겠습니다.

예제를 풀기 전에 라플라스 변환에서 알아야 할 몇 가지를 알고 가겠습니다.

이번 글은전자공학에서 중요한 푸리에 변환에 대해서 알아보겠습니다.

우선 푸리에 변환을 살펴보기 전에 푸리에 급수부터 알아보겠습니다~~

푸리에 급수란 모든 주기함수는 Sine파동과 Cosine파동의 합으로 나타낼 수 있다는 핵심을 가지고 있습니다.

여기서 푸리에 급수 주기 T를 무한으로 생각하면 이제 주기 함수를 비주기 함수로 생각할 수 있게 됩니다.

그리고 이제 변환을 통해서 푸리에 변환 공식이 나오게 되는데 이 부분은 살짝 복잡하니 생략하도록 하고

푸리에 변환을 알아보도록 하겠습니다. 푸리에 변환이란 시간에 대한 함수를 주파수 성분으로 변환하는 것입니다.

f(t)<--> F(w)         t = 시간 도메인, w = 주파수 도메인

푸리에 변환 공식입니다.

http://blog.fossasia.org/performing-fourier-transforms-in-the-pslab-android-app/

다음은 푸리에 변환 수렴 조건입니다.

정리하자면 푸리에 변환 핵심은 복잡한 함수를 단순한 파동들의 합으로 나타낼 수 있다는 점입니다.

이를 통해서 함수 안에 들어있는 특징들을 뽑아낼 수 있죠.

다음엔 퓨리에 변환과 관련이 많은 라플라스 변환과 FFT(고속 퓨리에 변환)에 대해서 포스팅 하겠습니다.